Partindo do quatro, deseja-se encontrar o próximo quadrado perfeito. Para isso, temos que acrescentar dois pinos em uma das colunas; dois pinos em uma das linhas e um pino para fechar o cantinho.
Continuando do nove para o próximo número quadrado, temos que acrescentar três pinos em uma das linhas, três pinos em uma das coluna, mais o pino do cantinho. Ou podemos considerar que é 32 mais 2×3 mais 1.
Assim o 42 mais 2×4 mais 1 é igual a 52.
Com o número quadrado 81 deseja-se construir o próximo quadrado perfeito primeiro passo é tirar a raiz quadrada do 81, $latex \sqrt{81}=9$. Feito isso basta somar as partes, 81 + 2 x 9 + 1 = 100, o mesmo que 102.
Conhecido um número quadrado, tira-se a raiz, em seguida ao número inicial somamos duas vezes a raiz quadrada desse número mais um para completar o cantinho.
Exemplo: Se o número quadrado é o 144, qual é o próximo quadrado perfeito.
Primeiro passo; tira-se a raiz quadrada $latex \sqrt{144}=12$.
Segundo passo; efetuar a soma 144 + 2 x 12 + 1 = 144 + 24 + 1 = 169 = 132
Se o quadrado perfeito tem n2 pontos e lado n, então qual será o próximo quadrado perfeito?
O próximo quadrado perfeito será (n+1)2 = n2 + 2n + 1, como podemos ver na figura.
Considerando o mesmo quadrado de área n2 e lado n, queremos encontrar a área do quadrado com lado (n + 2).
Dispondo duas colunas de n pinos à direita, duas linhas de n pinos abaixo e finalmente completar o canto.
Temos a nova figura formada por n2, mais 2n para a direita, 2n para baixo e quatro pinos no canto. Algebricamente podemos escrever:
Para (n + 3)
Partindo do n2 deseja-se encontrar o número quadrado (n + a)2, seguindo o raciocínio, devemos adicionar os valores; n2 mais 2na mais a2. (n + a)2 = n2 + 2na + a2.