Partindo do quatro, deseja-se encontrar o próximo quadrado perfeito. Para isso, temos que acrescentar dois pinos em uma das colunas; dois pinos em uma das linhas e um pino para fechar o cantinho.

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22 + 2 + 2 + 1 = 9 = 32

Continuando do nove para o próximo número quadrado, temos que acrescentar três pinos em uma das linhas, três pinos em uma das coluna, mais o pino do cantinho. Ou podemos considerar que é 32 mais 2×3 mais 1.

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32 + 3 + 3 + 1 = 16 = 42

Assim o 42 mais 2×4 mais 1 é igual a 52.

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42 + 2 x 4 + 1 = 5216 + 8 + 1 = 25 = 52

Com o número quadrado 81 deseja-se construir o próximo quadrado perfeito primeiro passo é tirar a raiz quadrada do 81, \sqrt{81}=9. Feito isso basta somar as partes, 81 + 2 x 9 + 1 = 100, o mesmo que 102.

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Conhecido um número quadrado, tira-se a raiz, em seguida ao número inicial somamos duas vezes a raiz quadrada desse número mais um para completar o cantinho.

Exemplo: Se o número quadrado é o 144, qual é o próximo quadrado perfeito.
Primeiro passo; tira-se a raiz quadrada \sqrt{144}=12.
Segundo passo; efetuar a soma 144 + 2 x 12 + 1 = 144 + 24 + 1 = 169 = 132

Se o quadrado perfeito tem n2 pontos e lado n, então qual será o próximo quadrado perfeito?

O próximo quadrado perfeito será (n+1)2 = n2 + 2n + 1, como podemos ver na figura.

Considerando o mesmo quadrado de área n2 e lado n, queremos encontrar a área do quadrado com lado (n + 2).

Dispondo duas colunas de n pinos à direita, duas linhas de n pinos abaixo e finalmente completar o canto.

Temos a nova figura formada por n2, mais 2n para a direita, 2n para baixo e quatro pinos no canto. Algebricamente podemos escrever:

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(n + 2)2 = n2 + 2 x 2n + 4 ou (n + 2)2 = n2 + 4n + 22

Para (n + 3)

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(n + 3)2 = n2 + 2 x 3n + 32 (n + 3)2 = n2 + 6n + 32

Partindo do n2 deseja-se encontrar o número quadrado (n + a)2, seguindo o raciocínio, devemos adicionar os valores; n2 mais 2na mais a2. (n + a)2 = n2 + 2na + a2.

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