O teorema de pick foi descoberto em 1899 por Georg Alexander Pick e permite calcular a área de um polígono simples contando o número dos seus pontos de fronteira e o número dos seus pontos interiores.

Seja um polígono cujos vértices são pontos do reticulado, aos pontos que estão sobre as arestas do polígono chamamos pontos fronteira e aos que estão no interior do polígono chamamos pontos interiores. O polígono diz-se simples quando não possui buracos no seu interior, nem intersecções das suas arestas.

Cálculo da área pelo teorema de Pick

Dado um polígono simples de área “A”, sejam “p” o número de pontos de fronteira, e “i” o número de pontos interiores, então a área desse polígono é dada pela seguinte expressão A = p ÷ 2 + i – 1

teorema de pick 001
Agora vamos dividir o retângulo em três figuras diferentes:

teorema de pick 002
Primeira figura p = 12; i = 4 A1 = 12 ÷ 2 + 4 – 1 = 9
Segunda figura p = 12; i = 13 A2 = 12 ÷ 2 + 13 – 1 = 18
Terceira figura p = 18; i = 19 A3 = 18 ÷ 2 + 19 – 1 = 27
Logo temos: A1 + A2 + A3 = 9 + 18 + 27 = 54

O Teorema de Pick é fascinante porque nos permite calcular a área de um polígono simples a partir da contagem de pontos do reticulado. É de fato surpreendente que seja possível substituir o processo habitual de cálculo de uma área, que envolve medições de grandezas contínuas, por uma contagem de grandezas discretas.

Teorema de Pick

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