João e Pedro são pecuaristas. Um dia se encontraram e começaram a negociar. João disse a Pedro: “dê-me um de seus bois que ficarei com o dobro da quantia que você tem”. E então Pedro retrucou: “Não, dê-me um dos seus que nós ficamos com a mesma quantia”. Quantos bois têm cada um?

A primeira impressão que se tem é a de que o problema não tem solução, por não aparecer números no enunciado. As informações de um problema devem ser escritas na ordem em que são contadas e não podem ser alteradas.

Esse problema tem somente duas variáveis. Só é possível encontrar solução se pudermos escrever duas equações.

Primeira informação: “Dê-me um de seus bois que eu fico com o dobro que você tem”.

A quantidade de João mais um boi é igual a quantidade de Pedro menos um boi. Então, a equação matemática resultante é:

J + 1 = 2 (P – 1)

Segunda informação: “Então, dê-me um dos seus bois que ficamos com a mesma quantia”.

Equação matemática: J – 1 = P + 1

Escrevendo uma nova equação para reduzir as equações vamos encontrar:

J – P = 2, ou seja, que João tem dois bois a mais que Pedro.

Todo problema que tem duas equações necessita de um confronto entre as mesmas para encontrar a solução.

Solução Geométrica:

J + 1   =   2P – 2     1a equação
J – 1   =     P + 1     2a equação

Neste método de solução, monta-se um gráfico de cada equação, onde a solução será a intersecção das retas resultantes.

1a equação: atribui-se um valor a qualquer uma das duas variáveis, substitui o mesmo na equação para encontrar a relação que este tem com a outra variável, no intuito de formar o par ordenado, e após localizá-lo no plano cartesiano.

Vamos marcar a quantidade de João no eixo “x” e a quantidade de Pedro no eixo “y”:

sistemas-lineares-001Pela 1ª equação temos: J + 1 = 2P – 2
Se J = 1 então P = 2
Se J = 9 então P = 6

sistemas-lineares-002Pela 2ª equação temos: J = P + 2
Se J = 1 então P = -1
Se J = 10 então P = 8

Agora, vamos construir os dois gráficos em um mesmo plano cartesiano, pois é a intersecção entre eles que permitirá conhecermos a resposta:

Vamos ver! O resultado diz que João tem 7 bois e Pedro tem 5. Se Pedro der 1 boi para João ficará com a metade de João, se João der
1 boi para Pedro ambos ficarão com a mesma quantidade.

sistemas-lineares-003O ponto de intersecção das retas, forma o par ordenado (7,5), o qual é a solução do problema.

Sistemas lineares

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